【SMA Matematika Kurikulum Pendidikan Rakyat】Mata Pelajaran Wajib Semester Satu (Edisi A): Dari Akar ke Pangkat Pecahan: Perluasan Sistem Bilangan dan Definisi Pangkat

Ketika kita meneliti pertumbuhan eksponensial suatu organisme (seperti alga biru), jika tingkat pertumbuhannya adalah $6,25\%$, maka jumlah setelah $x$ hari dapat dinyatakan dengan $y = (1+6,25\%)^x$. Apakah rumus ini masih bermakna jika $x$ bukan bilangan bulat (misalnya $1,5$ hari)? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu memperluas definisi pangkat dari bilangan bulat menjadi pecahan rasional hingga bilangan real — inilah yang merupakan keharusan dalam perluasan sistem bilangan.

Akar ke-$n$ dan Pangkat Pecahan

Definisi Akar ke-$n$: Secara umum, jika $x^n=a$, maka $x$ disebut akar ke-$n$ dari $a$, dengan syarat $n>1$ dan $n \in \mathbf{N}^*$. Bentuk $\sqrt[n]{a}$ disebut bentuk akar.

Pangkat Pecahan: Untuk menyelaraskan sifat operasi, kita menetapkan bahwa pangkat pecahan positif dari bilangan positif adalah: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ (dengan $a>0$). Ini berarti semua bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat untuk dilakukan operasi.

Bentuk akar merupakan representasi dari operasi pangkat pada dimensi pecahan. Dengan mendefinisikan pangkat pecahan, kita menghilangkan batas antara tanda akar dan eksponen, sehingga sifat-sifat operasi menjadi seragam.

$$(\sqrt[n]{a})^n=a, \quad \sqrt{b}=b^{\frac{1}{2}} (b>0)$$

PERTANYAAN 1

Diketahui grafik fungsi pangkat $y=f(x)$ melalui titik $(2, \sqrt{2})$, carilah rumus fungsi tersebut.

$f(x) = x^{1/2}$

$f(x) = x^2$

$f(x) = x^{2}$

$f(x) = \sqrt{2}x$

PERTANYAAN 2

Bandingkan ukuran $(-1,5)^3$ dengan $(-1,4)^3$.

$(-1,5)^3 < (-1,4)^3$

$(-1,5)^3 > (-1,4)^3$

$(-1,5)^3 = (-1,4)^3$

Tidak dapat dibandingkan

PERTANYAAN 3

Carilah nilai $x$ dari $\log_{\frac{1}{3}} x = -3$.

$27$

$1/27$

$9$

$-27$

PERTANYAAN 4

Jika tingkat pertumbuhan rata-rata tahunan PDB suatu wilayah adalah 6,5%, berapa tahun kira-kira dibutuhkan agar PDB menjadi empat kali lipat?

22 tahun

11 tahun

31 tahun

15 tahun

PERTANYAAN 5

Hitung nilai $\lg 0,00001$.

$-5$

$5$

$-4$

$0,00001$

PERTANYAAN 6

Manakah dari bentuk-bentuk berikut yang hasilnya sama dengan $|a|$?

$\sqrt{a^2}$

$\sqrt[3]{a^3}$

$(\sqrt{a})^2$

$a^{\frac{1}{2}}$

PERTANYAAN 7

Dalam periode tertentu, alga biru di suatu danau tumbuh secara eksponensial dengan tingkat pertumbuhan harian $6,25\%$. Setelah 30 hari, berapa kali lipat jumlah alga biru tersebut dibandingkan awalnya?

$1,0625^{30} \approx 6,25$

$1,0625 \times 30$

$0,0625^{30}$

$30^{1,0625}$

PERTANYAAN 8

Ubah bentuk akar $\sqrt[4]{c^3}$ menjadi bentuk pangkat pecahan (dengan $c>0$).

$c^{\frac{3}{4}}$

$c^{\frac{4}{3}}$

$c^3$

$c^{-1}$

PERTANYAAN 9

tidak terdefinisi

Titik nol adalah koordinat x dari titik potong grafik fungsi dengan sumbu-x

Titik nol adalah titik koordinat $(x, 0)$

Selama $f(a)f(b)<0$, fungsi hanya memiliki satu titik nol di interval $(a, b)$

Hanya fungsi eksponensial yang memiliki titik nol

PERTANYAAN 10

Jika waktu paruh suatu zat adalah $h$, massa awalnya $Q_0$, maka massa sisa $Q(t)$ setelah waktu $t$ adalah:

$Q(t) = Q_0 (1/2)^{t/h}$

$Q(t) = Q_0 (1/2)^{h/t}$

$Q(t) = Q_0 e^{-t}$

$Q(t) = Q_0 - (1/2)t$

Waktu $t$ (tahun)	0	10	20
$P_1$ (lakh yuan)	100	150	200
$P_2$ (lakh yuan)	100	141	200